Sharpe Diagonal Model | Gabriela de la Torre

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William Sharpe, el alumno de Markowitz que compartió premio con él

Continuamos la serie de artículos sobre el estudio de la incertidumbre en las carteras o portafolios de inversión, todos ellos preparados por Gabriela de la Torre, autora del proyecto Value4all, con el apoyo de Jaime Lasheras, asesor externo del proyecto.

El origen de la Teoría Eficiente de Cartera se remonta a 1952 con la Teoría del Portafolio de Harry Markowitz (1927 – 2023). En 1963, en la revista académica The Journal of Finance con el artículo “A Simplified Model for Portfolio Analysis”, el economista William Sharpe dio a conocer una simplificación del modelo propuesto por Markowitz y el cuál recibió el nombre de Sharpe Diagonal Model.

Sharpe Diagonal Model

William Sharpe en su artículo “A Simplified Model for Portfolio Analysis” (1963), propone, a partir del modelo de Markowitz, el “Sharpe Diagonal Model”. Junto con el trabajo de otros autores como Jack Treynor (1961), John Lintner (1965) y Jan Mossin (1966), se convertiría en el famoso modelo CAPM, del que puedes encontrar más información aquí.

Estas modificaciones supusieron por primera vez la distinción entre los tipos de riesgo: sistemático o no diversificable y no sistemático o específico. Además, sus razonamientos han tenido distintas aplicaciones tanto para la selección de activos a la hora de formar una cartera como para la medición del riesgo; al mismo tiempo ha sido fundamental en el desarrollo del modelo de valoración de activos.

Bases del modelo

Markowitz propuso una nueva forma a la hora de seleccionar los activos de una cartera, para lo que era necesario: (i) realizar estimaciones de los rendimientos futuros de los activos sirviéndose de la probabilidad, (ii) analizar dichas estimaciones para determinar el conjunto de carteras eficiente, (iii) elegir de dicho conjunto de carteras las que mejor se adapten a las preferencias del inversor. Con su artículo publicado, William Sharpe amplía el trabajo de Markowitz respecto a la selección de activos y propone un modelo simplificado que supone para muchos, una evolución en el análisis de carteras. (Sharpe 1963)

Según Sharpe, las correlaciones entre parejas de activos que había tenido en cuenta Markowitz no eran del todo acertadas. Sino que dicha correlación en realidad se debía a un grupo de índices representativos, como por ejemplo al índice de bolsa o del mercado en el que se encontraban dichos activos. De esta forma, sustituyó las correlaciones entre activos de Markowitz por las correlaciones con dicho índice dando lugar a una matriz de covarianza con términos no nulos solamente en la diagonal, lo que dio nombre al Modelo Diagonal de Sharpe.

Hipótesis y enunciado

Se trata de un modelo de regresión lineal entre el rendimiento de un activo y el índice tomado por referencia en un periodo T; propone el cálculo de la rentabilidad de un activo de la siguiente manera:

sharpe1R_i : rentabilidad del título “i”.
R_m : rentabilidad del mercado o del índice tomado como referencia.
α_i : rentabilidad del activo independiente del mercado.
β_i: coeficiente de regresión que expresa la variación del título “i” ante el considerado como relevante.
ε_i : variable aleatoria que representa al término de error. Con él, Sharpe quería cuantificar aquella parte de la rentabilidad que no se explica debidamente por el modelo. Son variables independientes y distribuidas uniformemente con media cero, lo que se traduce en una esperanza cero y una varianza constante (homocedasticidad):
sharpe2Estos valores pueden ser calculados por el método de los mínimos cuadrados de regresión lineal a partir de datos históricos de los activos. Y generalizando el modelo propuesto para una cartera diversificada de “n” activos, el rendimiento esperado E_T tendrá el siguiente aspecto:

sharpe3Asimismo, se recuerda que Sharpe propuso una matriz de correlación diagonal, es decir, cuyos elementos fuera de la diagonal fueran cero. Y es que, el economista estadounidense defendía que los rendimientos de los activos estaban solamente relacionados con el índice de su mercado y no entre ellos. Como consecuencia de ello, la covarianza entre activos cualesquiera permanecía nula.

Riesgo sistemático y no sistemático

Entrando más en detalle en la distinción que defiende Sharpe respecto al riesgo de un activo, se puede observar que la varianza de éste queda expresada como la suma de la varianza del mercado y la del propio activo:

sharpe4
Se pueden observar dos términos bien diferenciados:

Riesgo no sistemático (σεj): aquel intrínseco a la acción y que el inversor tendrá en cuenta. Más adelante se explicará más en detalle por qué es el único que se puede reducir.
Riesgo sistemático (σm^2) o riesgo del mercado: aquel que no se puede modificar.

Se puede comprobar que el término del riesgo no sistemático disminuye de manera exponencial al aumentar el número de activos. Si se representan ambos riesgos se obtiene:
sharpeF1

Figura 1. Distinción de los tipos de riesgo según Sharpe. Fuente: (CFI Team 2020)

Se concluye que el modelo de Sharpe defiende la diversificación como solución al riesgo no sistemático y con ello, el no hacerlo supondría correr un riesgo innecesario.

Enunciado y comparación con el modelo de Markowitz

Recopilando los conceptos recién vistos y el modelo de Markowitz aquí, el modelo de Sharpe continúa con la minimización del riesgo. A partir de una rentabilidad establecida a priori y mediante la resolución de un problema de optimización, se puede obtener la composición de la cartera eficiente para un rendimiento concreto y unos activos seleccionados. (Ribal, Segura, y Guadalajara 2003)

sharpe5

Sin embargo, el modelo de Sharpe simplifica en gran medida los cálculos del modelo de Markowitz, puesto que ya no es necesario calcular las correlaciones entre cada pareja de activos sino entre cada activo y el índice tomado por referencia.

Por último, se destacan conclusiones importantes que se observaron gracias a las modificaciones que supusieron este modelo respecto al propuesto por Harry Markowitz: el riesgo no sistemático es reducible y, por tanto, el no hacerlo le llevará a una cartera no eficiente; y a mayor número de activos escogidos (mayor diversificación) se reduce el riesgo y se obtendrán mayores beneficios.

Si te interesa la historia de los ganadores de los Premios Nobeles de Economía, te recomendamos el libro "Una corona de laural naranja", de nuestro amigo José Carlos Gómez Borrero, a quien también puedes conocer por estos artículos del blog:

Milton Friedman.

Hayek y Keynes.

Y por este artículo escrito por él sobre Sharpe:

Finanzas para mortales: Sharpe. 

Notas:

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